FORTH理論計算 #004：Sgr A*とM87の比較解析

概要

FORTH理論の普遍性を検証するため、質量が1500倍異なる2つのブラックホール（M87と天の川銀河中心Sgr A）を比較解析した。両者で理論的枠組みが整合的に適用できることを確認し、Sgr Aでジェットが観測されない理由を降着率とエネルギー密度の観点から定量的に説明した。

対象天体の基本パラメータ

M87ブラックホール

質量: M = 6.5×10⁹ M☉ = 1.293×10⁴⁰ kg
シュワルツシルト半径: Rs = 1.920×10¹³ m (128.3 AU)
距離: 16.8 Mpc
降着率: ~10⁻³ M☉/yr（活動的）

Sgr A* (天の川銀河中心)

質量: M = 4.3×10⁶ M☉ = 8.55×10³⁶ kg
シュワルツシルト半径: Rs = 1.270×10¹⁰ m (0.085 AU)
距離: 8.3 kpc
降着率: ~10⁻⁹ M☉/yr（非常に低い）

比較

質量比: M87/SgrA = 1512
Rs比: 1512（質量に比例）
降着率比: 10⁶（M87が100万倍高い）

トーラス構造パラメータ

推定方法

降着率とブラックホール質量から、トーラス構造を推定：

1. M87: 活発なジェット活動から逆算
   • R = 10 Rs（観測的制約）
   • r = 3.5 Rs（ジェット開口角から推定）
   • R/r = 2.86
2. Sgr A*: 低降着率を考慮
   • R = 5 Rs（よりコンパクト）
   • r = 0.05 Rs（薄いトーラス）
   • R/r = 100

主要計算結果

1. ジェット速度の理論予測

FORTH理論の基本公式:

v/c = √(1 - (r/R)²)

M87:

R/r = 2.86
v/c = √(1 - (1/2.86)²) = 0.937
γ = 2.86

Sgr A*:

R/r = 100
v/c = √(1 - (1/100)²) = 0.99995
γ = 100

2. エネルギー密度解析

降着パワー

L_acc = η × Ṁc² (η = 0.057: 標準降着効率)

M87: L_acc = 3.6×10³⁸ W
Sgr A*: L_acc = 3.6×10³² W
比率: 10⁶

トーラス体積

V = 2π²Rr²

M87: V = 5.7×10⁴⁸ m³
Sgr A*: V = 1.6×10³⁵ m³
比率: 3.6×10¹³

エネルギー密度

ρ_E = L_acc / (V×c)

M87: ρ_E = 6.3×10⁻¹⁷ J/m³
Sgr A*: ρ_E = 2.1×10⁻⁹ J/m³

結果: Sgr A*の方がエネルギー密度は高いが、絶対値が小さい

3. ジェット形成条件

臨界エネルギー密度

M87で観測されるジェット活動から、ジェット形成に必要な最小エネルギー密度を推定：

ρ_critical ~ 10⁻¹⁸ J/m³

判定

注: 両者とも臨界値を超えるが、Sgr A*では降着率が極端に低いため、実際のジェット質量流出率が観測限界以下

4. W軸周期（消失時間）

T_W = 2πr/c

M87:

T_W = 2π × 6.72×10¹³ m / c = 1.41×10⁶ 秒 = 16.3 日

Sgr A*:

T_W = 2π × 6.35×10⁸ m / c = 13.3 秒 = 0.22 分

5. 観測的検証

角直径（シュワルツシルト半径の見かけの大きさ）

θ = 2Rs/d （d: 距離）

M87: θ = 74 μas（マイクロ秒角）
Sgr A*: θ = 63 μas

両者ともEvent Horizon Telescopeで解像可能。

ジェット観測状況

物理的解釈

なぜSgr A*でジェットが見えないか

1. 降着率が極端に低い: M87の100万分の1
2. 質量流出率が小さい: 観測限界以下
3. 放射効率が低い: 低光度AGN状態

ただし、理論的にはジェット形成は可能（v/c = 0.99995）。

スケーリング則の妥当性

質量が1500倍異なっても、FORTH理論の基本方程式は適用可能：

• ジェット速度公式は普遍的
• R/r比が異なれば速度も変化
• エネルギー条件が満たされればジェット形成

比較図表

詳細な可視化データは記事下部の「詳細データ」を参照

対数スケールでの主要パラメータ比較（M87を1として正規化）。

計算の検証方法

手計算での確認

1. 質量比:

   
   M87/SgrA = (6.5×10⁹)/(4.3×10⁶) = 1512
   

2. ジェット速度（Sgr A*）:

   
   v/c = √(1 - 1/100²) = √0.9999 = 0.99995
   

3. W軸周期（Sgr A*）:

   
   T = 2π × 6.35×10⁸ / 3×10⁸ ≈ 13 秒
   

計算コード

完全な計算コードは GitHubで公開しています：

• GitHub: FORTH Calculations #004

python
python calculation.py

結論

M87とSgr A*の比較解析により、以下を確認した：

1. 理論の普遍性: 質量スケールが3桁異なっても適用可能
2. ジェット速度の一貫性: 両者とも相対論的速度を予測
3. 観測との整合性: Sgr A*のジェット非検出を降着率で説明

FORTH理論は異なるスケールのブラックホールに対して整合的な予測を提供し、観測結果とも矛盾しない。

データファイル

• 計算結果JSON
• 比較図表HTML
• 計算スクリプト

注記: Sgr A*のトーラスパラメータは降着率から推定した理論値。将来の観測により検証が必要。