FORTH理論計算 #002：4次元トーラスの磁場構造可視化

概要

4次元トーラス構造における磁場配置を数値シミュレーションによって計算し、3次元空間への投影により可視化した。M87ブラックホールのパラメータを使用し、主半径R=1000Rs、管半径r=1Rsの構造における磁場分布を解析した。

シミュレーション設定

物理定数（CODATA 2018）

重力定数 G = 6.67430×10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻²
光速 c = 299,792,458 m/s（定義値）
太陽質量 M☉ = 1.98847×10³⁰ kg

M87ブラックホール

質量: M = 6.5×10⁹ M☉ = 1.293×10⁴⁰ kg
シュワルツシルト半径: Rs = 1.920×10¹³ m

トーラスパラメータ

主半径: R = 1000 Rs = 1.920×10¹⁶ m
管半径: r = 1 Rs = 1.920×10¹³ m
R/r比: 1000

主要計算結果

1. ジェット速度の正確な計算

計算過程:

v/c = √(1 - (r/R)²)
    = √(1 - (1/1000)²)
    = √(1 - 0.000001)
    = √0.999999
    = 0.999999500

結果: v/c = 0.999999500（ローレンツ因子 γ = 1000）

2. 磁場構造パラメータ

螺旋構造

ピッチ角: α = arctan(r/R) = arctan(0.001) = 0.057°
螺旋巻き数: N = 2πR/r = 6283
特徴的スケール: λ = 2πr/Rs = 6.28 Rs

磁場強度分布

• 基準磁場強度: B₀ = 100 Gauss（M87での観測推定値）
• トロイダル成分: B_tor = B₀√(r/R) = 3.16 Gauss
• ポロイダル成分: B_pol = 0.1B₀sin(w) （W軸位相依存）
• W軸成分: B_w = 0.05B₀cos(φ+w) （螺旋構造生成）

3. W軸周期（消失時間）

計算過程:

T_W = 2πr/c
    = 2π × 1.920×10¹³ / 299,792,458
    = 4.025×10⁵ 秒
    = 111.8 時間

結果: T_W = 111.8 時間 = 4.66 日

4. エネルギー分析

磁場エネルギー密度

B = 0.01 Tesla (100 Gauss)
U_B = B²/(2μ₀) = (0.01)²/(2×4π×10⁻⁷) = 39.8 J/m³

運動エネルギー密度

電子数密度: n_e = 10⁸ /m³
電子質量: m_e = 9.109×10⁻³¹ kg
ジェット速度: v = 0.999999500c

U_K = ½n_e m_e v² = 4.09×10⁻⁶ J/m³

変換効率

η = U_K/(U_B + U_K) ≈ 0.01%

注記: この低い効率は単純化されたモデルによるもの。実際のブラックホール降着系では、重力エネルギーからの変換を考慮する必要がある。

観測可能な予測

特徴的周波数

1. 主半径周波数: f_R = c/(2πR) = 2.49×10⁻⁹ Hz
2. 管半径周波数: f_r = c/(2πr) = 2.49×10⁻⁶ Hz
3. 周波数比: f_r/f_R = 1000 = R/r

偏光パターン

• 螺旋構造によるローテーションメジャーの変動
• W軸位相に依存する偏光角の周期的変化
• ピッチ角0.057°の螺旋パターン

3次元可視化

実装詳細

python
トーラス座標系（Rs単位）

X = (R/Rs + r/Rs × cos(V)) × cos(U)
Y = (R/Rs + r/Rs × cos(V)) × sin(U)
Z = r/Rs × sin(V)

磁場強度の正規化

B_normalized = √((r/R) / (1 + (r/R) × cos(V)))

可視化要素

• トーラス表面: 磁場強度をカラーマップで表示
• 磁力線: 20本の螺旋磁力線を赤色で表示
• 座標系: シュワルツシルト半径単位（Rs）

計算の検証方法

手計算での確認

全ての計算は以下の手順で確認可能：

1. ジェット速度:

   
   v/c = √(1 - 1/1000²) = √0.999999 = 0.999999500
   

2. W軸周期:

   
   T = 2π × 1.92×10¹³ ÷ 3×10⁸ ≈ 4×10⁵ 秒 ≈ 112 時間
   

3. 螺旋ピッチ角:

   
   α = arctan(1/1000) = 0.001 rad = 0.057°
   

計算コード

完全な計算コードはGitHubで公開しています：

• GitHub: FORTH Calculations #002

Pythonで以下のように実行可能：

python
python calculation_002.py

物理的解釈

トーラス構造の役割

1. 磁場の閉じ込め: トロイダル磁場による安定な閉じ込め
2. 螺旋構造の形成: W軸成分による右巻き螺旋
3. ジェット加速: 磁場勾配による粒子加速

観測との比較

M87の観測データとの整合性：

結論

4次元トーラス構造における磁場配置の正確な計算により、以下を確認した：

1. 正確なジェット速度: v/c = 0.999999500（R/r=1000）
2. 螺旋構造の形成: ピッチ角0.057°の右巻き螺旋
3. W軸周期: 111.8時間（4.66日）

これらの予測は将来の高解像度観測により検証可能である。

計算スクリプト

計算コードはGitHubで公開しています：

• 計算スクリプト

注記: 本計算は理論的予測であり、観測による検証が必要である。エネルギー変換効率の低さは簡略化モデルの限界を示しており、より詳細な磁気流体力学シミュレーションが今後必要である。